주어진 행렬 A=
| 2 | 1 |
| 1 | 4 |
에 대해여
(a) 행벡터를쓰고 2차원 좌표평면에 나타내시오
> A=matrix(c(2,1,1,4),ncol=2)
> row1 = A[1, ]
> row2 = A[2, ]
> row1
[1] 2 1
> row2
[1] 1 4
> plot(0, 0, xlim=c(0, 5), ylim=c(0, 5), xlab="X", ylab="Y")
> arrows(0, 0, row1[1], row1[2], col="blue", lwd=2, length=0.1)
> arrows(0, 0, row2[1], row2[2], col="red", lwd=2, length=0.1)
plot : 좌표평면 그리기 xlim: x좌표의 범위 xlab: x축에 대한 이름 지정
arrows: 화살표 그리기/ 0, 0 : 화살표의 시작 방향/ row1[1], row1[2] : 화살표의 끝 방향 / col :색깔/ lwd: 화살표의 선의 두께/ length: 화살표 머리 부분 길이
(b) 열벡터를 쓰고 2차원 좌표평면에 나타내시오
> col1 = A[, 1]
> col2 = A[, 2]
> col1
[1] 2 1
> col2
[1] 1 4
> arrows(0, 0, col1[1], col1[2], col="purple", lwd=2, length=0.1)
> arrows(0, 0, col2[1], col2[2], col="yellow", lwd=2, length=0.1)
(c) rank(A)를 구하시오
> A=matrix(c(2,1,1,4),ncol=2)
> library(Matrix)
> rankMatrix(A)
[1] 2
attr(,"method")
[1] "tolNorm2"
attr(,"useGrad")
[1] FALSE
attr(,"tol")
[1] 4.440892e-16
(d) A의 고유값과 고유벡터를 구하시오
> lamda=eigen(A)
> lamda
$values
[1] 4.414214 1.585786
$vectors
[,1] [,2]
[1,] 0.3826834 -0.9238795
[2,] 0.9238795 0.3826834
(e) A의 역행렬을 구하시오
> B=solve(A)
> B
[,1] [,2]
[1,] 0.5714286 -0.1428571
[2,] -0.1428571 0.2857143
(f) A를 스펙트럼 분해로 표현하시오
> A_spectrum=lamda$vectors%*%diag(lamda$values)%*%t(lamda$vectors)
> A_spectrum
[,1] [,2]
[1,] 2 1
[2,] 1 4
(g) A의 역행렬의 고유값과 고유벡터를 구하시오
> lamda2=eigen(B)
> lamda2
eigen() decomposition
$values
[1] 0.6306019 0.2265409
$vectors
[,1] [,2]
[1,] -0.9238795 -0.3826834
[2,] 0.3826834 -0.9238795
(h) A는 양정치행렬인가?
> is_positive=all(lamda$values>0)
> is_positive
[1] TRUE
(i) A'A를 구하시오
> At=t(A)
> C=At%*%A
> C
[,1] [,2]
[1,] 5 6
[2,] 6 17
(j) A'A의 고유값과 고유벡터를 구하시오
> lamda3=eigen(C)
> lamda3
eigen() decomposition
$values
[1] 19.485281 2.514719
$vectors
[,1] [,2]
[1,] 0.3826834 -0.9238795
[2,] 0.9238795 0.3826834
(k) (A'A)의 역행렬을 구하시오
> Ct=t(C)
> Ct
[,1] [,2]
[1,] 5 6
[2,] 6 17
(l) A^2을 구하시오
> A_mutiple=A%*%A
> A_mutiple
[,1] [,2]
[1,] 5 6
[2,] 6 17
(m) A^2의 고유값과 고유벡터를 구하시오
> lamda4=eigen(A_mutiple)
> lamda4
$values
[1] 19.485281 2.514719
$vectors
[,1] [,2]
[1,] 0.3826834 -0.9238795
[2,] 0.9238795 0.3826834
(n) A^2을 스펙트럼 분해로 표현하시오
> A_spectrum2=lamda4$vectors%*%diag(lamda4$values)%*%t(lamda4$vectors)
> A_spectrum2
[,1] [,2]
[1,] 5 6
[2,] 6 17
